Régime Transitoire 1 Degré de Liberté.

TEST n°2.

ccc

On désire observer sur un écran d'oscilloscope, les oscillations libres de la tension `v_C (t)` du condensateur du circuit électrique RLC série de la figure ci-dessus.

1- Quelle forme de signal doit-on sélectionner et à quelle valeur doit-on régler la fréquence du générateur ?

Réponse
La forme à sélectionner est la forme carrée: ## e(t)= \begin{cases} +e_0  0≤ t≤\dfrac{T}{2}\\ -e_0  \dfrac{T}{2}≤ t≤T \end{cases} ##   où  `T (=\frac{1}{f})`  est la période.

La fréquence du signal carré, `f,` doit être faible devant la fréquence propre,`f_0,` du circuit électrique `RLC` série.

2- Proposer une méthode qui permet de déterminer la résistance interne du générateur r, l'inductance L de la bobine et la capacité C du condensateur. Cette méthode doit utiliser deux régimes libres. La résistance variable `R_V≥0Ω` permet d'observer tous les régimes.

Réponse

La résistance variable `R_V` permet d'observer tous les régimes, par conséquent sa plus petite valeur `R_V=0 Ω` permettra d'observer le régime pseudopériodique. On doit utiliser le régime apériodique critique pour déterminer la valeur de la résistance variable critique `R_{Vc}` et le régime pseudopériodique pour `R_V=0 Ω,` afin de mesurer la pseudopériode `T_a` et le décrément logarithmique D. La connaissance de ces grandeurs permet de déterminer `r,` `L` et `C.`

Au régime pseudopériodique: on choisit `R_V=0 Ω`

ccc

- La mesure de `T_a` se fait en mesurant la distance `Δt` séparant `n_1+1` pics (soient des maximums ou soient des minimums) :

## T_a=\dfrac{Δt}{n_1} ##

- La mesure de `D` se fait en choisissant deux pics (2 maximums ou 2 minimums) dont le rapport de leurs amplitudes par rapport à la valeur moyenne d'oscillation ( `-e_0` ou `e_0`) , `ΔV_{C1}` et `ΔV_{C2},` est environ égal à 2 (dans la mesure du possible). On compte le nombre `n_2` de pseudopériode séparant ces 2 pics.

## D=\dfrac1{n_2} Ln\left(\dfrac{ΔV_{C1}}{ΔV_{C2}}\right) ##

Comme :
## \begin{cases} ω_0^2=ω_a^2+δ^2\\ D=δT_a\\ ω_a=\dfrac{2\pi}{T_a}\\ ω_0=\dfrac1{\sqrt{LC}}\\ δ=\dfrac{r}{2L}\\ \end{cases} \implies ##
## \begin{cases} ω_0=\dfrac{\sqrt{4π^2+D^2}}{T_a }\\ δ=\dfrac{D}{T_a}\\ ω_0=\dfrac1{\sqrt{LC}}\\ δ=\dfrac{r}{2L}\\ \end{cases} \implies ##
## \begin{cases} \dfrac{r}{2L}=\dfrac{D}{T_a}\\ \dfrac1{\sqrt{LC}}=\dfrac{\sqrt{4π^2+D^2}}{T_a }\\ \end{cases} ##

Au régime apériodique critique :

## δ=ω_0 \implies ##
## \dfrac{r+R_{Vc}}{2L}=ω_0 \implies ##
## \dfrac{r}{2L}+ \dfrac{R_{Vc}}{2L}=ω_0 ##

On utilise les résultats du régime pseudopériodique :

## \dfrac{D}{T_a}+ \dfrac{R_{Vc}}{2L}=\dfrac{\sqrt{4π^2+D^2}}{T_a } \implies ##
## \dfrac{R_{Vc}}{2L}=\dfrac{\sqrt{4π^2+D^2}}{T_a }-\dfrac{D}{T_a} \implies ##
## L=\dfrac{R_{Vc}T_a}{2\left(\sqrt{4π^2+D^2}-D\right)} ##


## \dfrac{r}{2L}=\dfrac{D}{T_a} \implies ##
## r=2L\dfrac{D}{T_a} ##


## \dfrac1{\sqrt{LC}}=\dfrac{\sqrt{4π^2+D^2}}{T_a } \implies ##
## LC=\dfrac{T_a^2}{{4π^2+D^2}} \implies ##
## C=\dfrac{T_a^2}{L\left({4π^2+D^2}\right)} ##